Fate arroventare due griglie. Nel frattempo lavate le aragoste, asciugatele e, con un taglio netto, dividetele in due parti nel senso della lunghezza. Eliminate la sacca sabbiosa che si trova nella testa e il budellino dell'intestino. Appoggiate le quattro mezze aragoste sulla griglie, con i gusci a contatto di queste ultime, e arrostitele per circa 20 minuti, rivoltandole di tanto in tanto; spennellatele ripetutamente con 80 g di burro fuso e spolverizzatele di sale e di pepe. Tritate finemente il basilico. Mettete ora il burro rimasto in una ciotola e lavoratelo con una spatola di legno fino a che sara diventato morbido e cremoso; a questo punto incorporatevi il basilico e la tomato ketchup. Disponete le mezze aragoste sul piatto da portata, sempre dalla parte del guscio, e ricopritele con il composto preparato, che spalmerete con una spatola. Guarnite con filetti d'acciughe e servite subito.